문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로런츠 군 (문단 편집) === 개요 === 우리가 아는 물리량은 스칼라, 벡터, 텐서 등이었다. 이들은 로런츠 군의 한 원소 [math(A = A^\mu_\nu)]에 대하여 다음과 같이 변환되었다. {{{+1 [math(S \to S, )] }}} {{{+1 [math(V^\mu \to A^\mu_\nu V^\nu, )] }}} {{{+1 [math(T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_m}_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_n} \to A^{\mu_1}_{\alpha_1} \cdots A^{\mu_m}_{\alpha_m} (A^{-1})_{\nu_1}^{\beta_1} \cdots (A^{-1})_{\nu_n}^{\beta_n} T^{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_m}_{\beta_1 \beta_2 \cdots \beta_n})] }}} 사실 이런 물리량들은 고전역학에서도 잘 알려진 물리량들이었다. 그때에는 로런츠 군의 원소 대신 직교행렬(orthogonal matrix), 즉 직교 군(orthogonal group) [math(O(3))]의 원소들에 의한 변환이었다.[* 그리고 위의 텐서와 같이 변하는 고전역학의 물리량도 있었다. 관성 모먼트 텐서가 바로 그것이다.] 그 물리량들을 그대로 상대성 이론에 맞도록 확장시킨 것 뿐이다. 여기서 다음과 같은 질문은 자연스럽다. '''저런 식으로 말고 다른 방식으로 로런츠 변환이 되는 물리량이 있을까? 있다면 얼마나 될까?''' 그 질문의 답이 현대 수학에 있었다. 리 군(Lie group)과 리 대수(Lie algebra)로 대표되는 리 이론이 그것이었는데, 20세기 수학의 가장 큰 성과들 중에는 리 군 혹은 리 대수 중에서 단순한 것들, 즉 단순 리 군(simple Lie group)과 단순 리 대수(simple Lie algebra)이 무엇이 있는가를 완벽하게 분류(classification)했다는 것[* 즉, 어떠한 단순 리 군 혹은 단순 리 대수를 만나도 이들은 이미 분류가 된 단순 리 군과 단순 리 대수들 중 하나(와 동형사상(isomorphism)을 가지고 있는 것)라는 것이다.][* 리 군과 리 대수는 서로 대응되는 관계에 있다. 정확하게는 리 군의 한 컴포넌트에 국한된 것이긴 하지만, 사실 상 그게 그거다. 어쨌든 이런 대응관계 때문에 리 군을 다룰 땐 상대적으로 더 다루기 쉬운 리 대수에서 문제를 푸는 경우가 많으며, 단순 리 군의 분류도 사실 단순 리 대수가 분류되는 것으로 이루어진 일이다.]이고 또 하나는 단순 리 군의 표현(represenatation)으로 무엇이 있는가를 모든 단순 리 군의 표현으로 무엇이 있는가를 모조리 다 분류해낸 것이다. 로런츠 군은 단순 리 군들 중 하나이니, 결국 조금 전의 질문은 수학에서 어렵지 않게 찾아낼 수 있는, 이미 답이 있는 질문이었던 것이다. 이 문서에서는 로런츠 군을 표현하는 가능한 모든 방식들이 무엇인가를 간략하게나마 살펴 볼 것이다. '표현'에 괄호 치고 영문 번역을 넣은 것은 실제로 군과 같이 주어진 대수적 대상을 행렬이나 대칭 군(symmetric group) 등의 부분군 또는 부분공간 등등으로 나타내는 방법 등을 연구하는 분야를 가리켜 표현론(representation theory)라고 부르기 때문이다. 표현론은 대수학에서 매우 중요한 위상을 가진다. 주어진 대수학적 대상을 어떻게 표현할 줄 아느냐를 알면 그 대상을 다루기가 훨씬 수월해지기 때문이다. 하지만 이 문서에서는 로런츠 군의 표현론 자체에 대해 다루진 않을 것이다. 분명 어려운 주제일 것이기 때문이다.(...)[* Peskin의 An Introduction to Quantum Field Theory만 봐도 아래에 소개할 1/2-스피너를 다룬다. 더 일반적인, 그러니까 모든 표현을 알고 싶다면 Streater, Wightman의 PCT, Spin and Statistics, and that all(1964)에서 간략하게 확인할 수 있다. 하지만 구체적인 증명, 즉 가능한 표현을 모두 분류하는 문제는 훨씬 더 어렵다. 이미 리 대수의 영역이고 이건 대학원 과정이기 때문이다. 앞에서 소개한 책들도 대학원 과정에서나 읽을 수 있는 책들이긴 하지만 이건 수학의 영역이다. 즉, 이걸 제대로 이해하려면 물리학 대학원 과정과 수학 대학원 과정 모두를 알아야 한다. 물리학과들은 그냥 알기만 해도 좋을 듯. 정 알고 싶다면 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group|#]]에서 참고하고 Bargmann의 Irreducible unitary representations of the Lorenz group(1946)을 읽으면 되겠다.] 여기서는 결론만 간단히 논할 것이다. 이해를 돕기 위해 몇 가지 어려운(...) 중간 단계들을 설명할 것이긴 하지만.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기